જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x-2y+z=-4$; $2x+\alpha y+3z=5$; $3x-y+\beta z=3$ ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $12\alpha+13\beta$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણોની સંહતિની સુસંગતતા તપાસો: $x+2y=2$ અને $2x+3y=3$.

વિધાન $1$: જો સમીકરણોની સંહતિ $x + ky + 3z = 0, 3x + ky - 2z = 0, 2x + 3y - 4z = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $k$ નું મૂલ્ય $\frac{31}{2}$ છે.
વિધાન $2$: ત્રણ ચલ ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય.

જો સમીકરણોની સિસ્ટમ
$2x + 7y + \lambda z = 3$
$3x + 2y + 5z = 4$
$x + \mu y + 32z = -1$
ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $(\lambda - \mu)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ એ તમામ $a \in R - \{0\}$ ના ગણ છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ:
$a x + 2 a y - 3 a z = 1$
$(2 a + 1) x + (2 a + 3) y + (a + 1) z = 2$
$(3 a + 5) x + (a + 5) y + (a + 2) z = 3$
અનુક્રમે અનન્ય ઉકેલ અને અનંત ઉકેલો ધરાવે છે. તો:

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ
$7x + 11y + \alpha z = 13$
$5x + 4y + 7z = \beta$
$175x + 194y + 57z = 361$
ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $\alpha + \beta + 2$ ની કિંમત શોધો.